An dieser Stelle möchten wir die geneigten Leser, allen voran jene Spezialisten, die ihren letzten Kontakt mit der Mathematik irgendwo in der bodenlosen Vergangenheit hatten - nämlich während ihres Grundschuldaseins - mit zwei interessanten Aufgaben belästigen, die beide um Quadratzahlen sich drehen:
Gibt es natürliche Zahlen a, b, sodaß a^2 = 2 * b^2? (Oder: gibt es eine rationale Zahl sodaß...)
Gibt es natürliche Zahlen a, b, c, sodaß a^2 + b^2 = c^4?
Das sollte jetzt wirklich auch die hartnäckigsten Leser vergraulen...
5 Kommentare
ich rechne seit 2 stunden und komm ums verrecken auf keine andere lösung als jedes a=2^(1/2)b, was ja nicht wirklich rational ist...
wenns eine lösung gibt, her damit!
grüße,
may
Etwas gemein, wahrscheinlich...
Es gibt keine Lösung für die erste Aufgabe. Die Formel hatte ich als Zwischenschritt in einem Beweis dafür, daß 2^(1/2) irrational ist. Der Beweisweg war folgender:
Wenn es eine rationale Zahl r gibt, sodaß 2^(1/2) = r, dann muß es natürliche Zahlen a, b geben, sodaß a/b = r (nach Defition der rationalen Zahlen).
Also: r^2 = (a/b)^2 = a^2/b^2 = 2
Demnach: a^2 = 2 * b^2, womit wir besagte Formel hätten. Die eigentliche Beweisargumentation war dann die folgende:
(Proposition) Wenn z eine nat. Zahl ist und p1, p2, p3 ... pn die Primfaktoren von n sind, dann gilt: z^2 = p1^2 * p2^2 * p3^2 ... pn^2 (Wobei auch pi=pj sein kann für i != j).
Also: Jeder Primfaktor von z muß in z^2 in geradzahliger Potenz als Faktor vorkommen.
Ich spare mir an dieser Stelle den Beweis dieser Proposition; man erhält sie leicht durch Anwendung des Assoziativ- und des Kommutativgesetzes.
zurück zu a^2 = 2 * b^2:
Angenommen a und b seien nat. Zahlen. Dann müssen die Primfaktor von a, b in a^2 respektive b^2 in geradzahliger Potenz vorkommen. Kommt aber die 2 in b^2 in geradzahliger Potenz (2^g) vor, so kommt sie in 2 * b^2 in ungeradzahliger Potenz (2^(g+1))vor, weshalb a keine natürliche Zahl sein kann. Dasselbe gilt natürlich umgekehrt: Kommt 2 in geradzahliger Potenz in a^2 vor, so muß sie in b^2 in ungeradzahliger Potenz (2^(g-1)) vorkommen. Widerspruch. Die Annahme, daß a und b beide natürliche Zahlen sein könnten ist demnach zu verwerfen und 2^(1/2) muß irrational sein.
Wie gesagt, Frage so zu stellen war etwas hinterhältig. Deswegen auch der Beweis, um daß etwas zu entschuldigen...
Gibt es natürliche Zahlen a, b, sodaß a^2 = 2 * b^2?
Da sqrt(2) nicht rational ist, folgt, dass die Gleichung für a,b aus den natürlichen Zahlen nicht lösbar ist.
Gibt es natürliche Zahlen a, b, c, sodaß a^2 + b^2 = c^4?
Ja, a=7, b=24, c=5.
"Da sqrt(2) nicht rational ist, folgt, dass die Gleichung für a,b aus den natürlichen Zahlen nicht lösbar ist."
Gut, richtig. Da gehst Du aber schon davon aus, daß sqrt(2) irrational ist. Kannst Du natürlich; aber mit dem Beweis den ich im Kommentar skizziert habe, läßt es sich beweisen.
Den Beweis dazu kann man allerdings stark vereinfachen, wenn man davon ausgeht, dass der Bruch r=a/b vollständig gekürzt ist. Dann ergibt sich leichter ein Widerspruch.