mentalschnupfen

So hatte ich den Begriff der natürlichen Zahl bisher nicht verstanden:

Consequence [des Kompaktheitssatzes, DL]: any theory that has an infinite model has models of arbitrary large cardinality. So, for instance, there are nonstandard models of Peano arithmetic with uncountably many natural numbers.

Ich nehme gelegentlich mit Verwunderung zur Kenntnis, daß noch immer gerne die folgende Formulierung als die Lügner-Antinomie vorgestellt wird:

Gesprochen von einem Kreter:

(*) Alle Kreter sind Lügner

Es wird folgendermaßen argumentiert:

(#) Nehmen wir an, die Aussage sei wahr; dann muß sie, da sie von einem Lügner geäußert wird, falsch sein. Dann aber muß sie wahr sein.

In dieser Argumentation finden sich gleich zwei bedeutende Fehler. Zunächst stellt sich nämlich die Frage: Was ist ein Lügner? Ist es jemand, der (a) immer lügt, jemand der (b) gewohnheitsmäßig lügt oder jemand, der (c) mal gelogen hat? Der erste Schritt der obigen Argumentation (#) kann nur dann gelingen, wenn man (a) voraussetzt: Ein Lügner lügt mit jeder seiner Aussagen. Andernfalls kann man nämlich einfach annehmen, daß jeder Kreter mal lügt, also (c) erfüllt, oder daß jeder Kreter gewohnheitsmäßig lügt, also (b) erfüllt, der Äußerer von (*) jedoch gerade im Falle dieser Äußerung einmal nicht lügt. Dann wäre (*) wahr. (1) läßt sich also paraphrasieren als:

(**) Alle Kreter lügen immer (wenn sie eine Aussage machen)

[Nachtrag: Laut Wikipedia lautet Epimenides' ursprüngliche Aussage wie folgt: „Alle Kreter sind Lügner und alle von Kretern aufgestellten Behauptungen sind Lügen“, krankt also nicht an diesem Problem, jedoch an dem weiter unten geschilderten.

Nachtrag 2: Die fehlende Definition von "Lügner" ist außerdem nicht unbedingt als Fehler zu bezeichnen, wie ich es getan habe, sondern eher als Mangel.]

Nun gelingt der erste Schritt der Argumentation (#): Unter der Annahme (*) sei wahr, müssen wir schließen, daß der Kreter, der (*) äußert, mit dieser Aussage lügt. Damit hat man aber noch keine Antinomie, sondern lediglich die Feststellung, daß die Aussage nicht wahr sein kann. Erst dann, wenn man auch zeigen kann, daß die Aussage nicht falsch sein kann, ist nachgewiesen, daß es sich um eine Antinomie handelt. Also geht man jetzt von der Annahme (~) aus:

(~) Es ist falsch, daß alle Kreter immer lügen

(*), in der Interpretation (**), ist falsch genau dann, wenn (~) wahr ist. Aber wann ist (~) wahr? Offenbar, genau dann, wenn es mindestens einen Kreter gibt, der nicht immer lügt:

(~~) Es gibt wenigstens einen Kreter, der nicht immer lügt

Hier sollte bereits deutlich werden, daß sich (#) kaum zu ende wird bringen lassen; Man kann aber auch noch (~~~) folgern:

(~~~) Es gibt wenigstens einen Kreter, der wenigstens einmal nicht gelogen hat

(Wobei hier vorausgesetzt sei, daß nur die Vergangenheit relevant ist, also nicht die Frage, ob es einen Kreter gibt oder geben wird, der zu irgendeinem zukünftigen Zeitpunkt einmal nicht-lügen wird.)

Jetzt wird völlig klar, daß der Schluß auf die Wahrheit von (*) durch die Annahme der Wahrheit von (~) nicht möglich ist: (~) ist schon wahr, wenn irgendein Kreter jemals nicht gelogen hat; das könnte auch der sein, der (*) äußert: Im Falle von (*) äußert er eine Lüge, aber das macht ihn noch nicht zum Lügner, denn um in der Argumentation überhaupt erst den Anfang machen zu können, mußte schon angenommen werden, daß ein Lügner immer lügen muß, wenn er eine Aussage macht. Und selbst wenn der Äußerer ein notorischer Lügner wäre, der tatsächlich immer lügt, würde das nichts ändern, denn es könnte ohne Weiteres das Folgende zutreffen: Der Äußerer ist ein Lügner und die Aussage (*) falsch, da es auch Kreter gibt, die nicht immer lügen. Nirgends läßt sich hier also die Wahrheit von (*) herleiten.

Daß sie sehr oft in dieser nicht stichhaltigen Form angeboten wird, heißt jedoch nicht, daß es die eigentlich intendierte Antinomie gar nicht gebe, denn: Der letzte Satz in diesem Artikel ist falsch.

1966 C.E.- It is the case that the automobile fast approaching down the streets of Blaricum hits L.E.J. Brouwer, or it is not the case that the automobile fast approaching down the streets of Blaricum hits L.E.J. Brouwer.
[Jon Cogburn via LogBlog]

Continuum Hypothesis

Proven to be impossible to prove or disprove within the Zermelo-Frankel set theory with or without the Axiom of Choice. There is no consensus on whether this is a solution to the problem.
[Hilbert's First Problem]

Wer auch immer gestern "der kalkül des natürlichen schliessens aufgaben" gegoogelt haben mag: Da sind welche. Unter Materialien zur Vorlesung Mathematische Logik II. Viel Spaß damit.

Since Versace has models, it is derivable.

Wer kennt die Programmiersprache LISP noch? Den Listenprozessor? Nach FORTRAN ist LISP die zweitälteste Hochprogrammiersprache. Entwickelt wurde sie Ende der fünfziger Jahre am MIT von John McCarthy. Rekursion ist in LISP, ähnlich wie in Prolog, eine noch weitaus bedeutendere Technik als in anderen Sprachen. Die typischen Schleifenkonstrukte vom "for" oder "while"-Typus sind in LISP in aller Regel schlechter Stil, obwohl dergleichen inzwischen auch in die Sprache eingebaut wurde. 'Die Sprache' ist nämlich ohnehin ein problematischer Ausdruck, denn LISP wurde erst 1994 standardisiert (ANSI Common Lisp); bis dahin waren bereits unzählige Dialekte der Sprache entstanden. Babylonisches Lispeln.
Der wichtigste Datentyp in LISP ist die Liste. Und nicht nur komplexe Datenstrukturen, auch Funktionen sind Listen. Deswegen können LISP-Programme besonders gut andere LISP-Programme malträtieren, verändern und zur Not auch schonmal schreiben... Darum war - und ist - die Sprache für KI-Zwecke und dynamische Prozesse besonders beliebt und geeignet.

Ich habe heute angefangen, mich ein wenig mit dem guten Stück zu beschäftigen und habe erst einmal vier Funktionen geschrieben: JOINL nimmt zwei Listen als Argument und fügt sie zusammen (concatenation); REVERSEL nimmt eine Liste als Argument und kehrt die Reihenfolge der Elemente um; SORTEDL nimmt eine List (am besten von Zahlen) als Argument und überprüft, ob sie aufsteigend geordnet ist; SORTL nimmt eine Liste (am besten von Zahlen) als Argument und ordnet sie aufsteigend. Voilá:

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Ich arbeite derzeit an einem Referat über "starke Normalisierbarkeit" von Herleitungen im "Kalkül des Natürlichen Schließens". Also habe ich keine Zeit für euch. Tut mir leid.

An dieser Stelle möchten wir die geneigten Leser, allen voran jene Spezialisten, die ihren letzten Kontakt mit der Mathematik irgendwo in der bodenlosen Vergangenheit hatten - nämlich während ihres Grundschuldaseins - mit zwei interessanten Aufgaben belästigen, die beide um Quadratzahlen sich drehen:

Gibt es natürliche Zahlen a, b, sodaß a^2 = 2 * b^2? (Oder: gibt es eine rationale Zahl sodaß...)

Gibt es natürliche Zahlen a, b, c, sodaß a^2 + b^2 = c^4?


Das sollte jetzt wirklich auch die hartnäckigsten Leser vergraulen...

Das Interessante an induktiven Beweisen ist, daß das, was sie so einfach macht, es gleichzeitig so schwierig zu machen scheint, erst einmal darauf zu kommen, wie einfach eigentlich alles ist.

Über Herrn Rau erfuhr ich soeben vom grandiosen Spiel WFF WFF 'n' Proof. Es handelt sich dabei wahrscheinlich um eine der schönsten Möglichkeiten, den Umgang mit polnischer Notation zu üben. Leider ist es aber wohl eines der Spiele, die man immer alleine spielen muß. Dafür lohnt sich die Bestellung dann wahrscheinlich nicht, denn die paar Würfel sind das Geld wirklich nicht wert, wenn es Stift und Papier genauso tun.